Obsah preložený z anglickej verzie nástrojom Google.
Softvér Liebmann je určený na výpočty elektrónových/iónových optických systémov.
V súčasnosti umožňuje určenie rozloženia elektrostatického poľa vo vákuu.
Rieši problémy týkajúce sa elektród (t. j. bodov s pevným potenciálom) a vákua. Nie sú potrebné žiadne dielektriká.
V optike nabitých častíc je jedným z problémov určenie rozloženia elektrických a magnetických polí. Ak dobre poznáme rozloženie poľa, potom vieme určiť dráhy elektrónov v takomto poli. Toto sa dá využiť pri návrhu vedeckých alebo priemyselných zariadení.
V škole sa vo všeobecnosti učíme o elektrostatických poliach vo forme Coulombovho zákona a Gaussovho zákona. Coulombov zákon nám umožňuje určiť rozloženie elektrostatického poľa generovaného bodovými nábojmi. Existujú však problémy, ktoré presahujú túto teóriu. Ako určiť elektrostatické pole, keď majú elektródy napr. nepravidelné tvary a nemožno ich považovať za body? Vieme, že povrch kovovej elektródy má konštantný potenciál. Musíme určiť rozloženie poľa v blízkosti elektród. Niektoré elektródové systémy možno opísať pomocou pokročilých matematických metód. Našťastie, metapedagógovia vynašli aj numerické metódy, ktoré sa dajú použiť na výpočty s ľubovoľnými tvarmi elektród. Táto stránka je o takejto metóde. Elektrostatické pole je opísané Laplaceovou rovnicou. Rieši sa Liebmannovou relaxačnou metódou.
Softvér Liebmann dokáže vyriešiť Laplaceovu rovnicu.
Toto je parciálna diferenciálna rovnica, ktorá opisuje elektrostatické pole vo vákuu. Pre naše účely môžeme predpokladať, že máme kovové elektródy umiestnené vo vákuu. Predpokladá sa, že povrch kovovej elektródy má pevný potenciál, nastavený napríklad pomocou zdroja napájania. V prostredí elektród s pevnými potenciálmi existuje elektrostatické pole, ktorého rozloženie chceme určiť. Chceme určiť elektrostatický potenciál vo všetkých bodoch siete, ktoré predstavujú vákuum.
Laplaceova rovnica v jednorozmernom tvare má tvar:
Po integrácii vedľa seba získame riešenie - jednorozmerné, rovnomerné elektrostatické pole.
Po ďalšom integrovaní dostaneme riešenie potenciálu V(x) - lineárna funkcia.
Laplaceova rovnica v 2D súradniciach X-Y (rovinná) má tvar:
Laplaceova rovnica v 3D súradniciach X-Y-Z má tvar:
Laplaceova rovnica v 2D súradniciach Z-R (cylindrická symetria) má tvar:
Nasledujúci príklad predstavuje neštandardný problém. Ide o dvojrozmerný (X-Y) problém. Obrázok vľavo zobrazuje numerickú sieť použitú vo výpočtoch. Obsahuje dve planparalelné platne vo vákuu. Majú však rôzne dĺžky. Sieť má 200 riadkov a 200 stĺpcov. Zelená elektróda má potenciál -1,0 [V]. Červená elektróda má potenciál +1,0 [V]. Biele body okolo platní predstavujú vákuum. Chceme určiť rozloženie potenciálu v bodoch predstavujúcich vákuum.
Toto je možné vypočítať napríklad pomocou relaxačnej metódy, čo je možné pomocou programu Liebmann. Stredný obrázok zobrazuje výsledok výpočtu, t. j. mapovanie vypočítaného potenciálu na farby. Algoritmus mapovania prúdov (popísaný v dokumentácii). Pravý obrázok zobrazuje ekvipotenciálne čiary vypočítaného potenciálu. Podrobný popis problému je k dispozícii v galérii (problém č. 9).
Obrázky na tejto stránke majú rámy široké 2 pixely.
Liebmannov program používa relaxačnú metódu (postupné aproximácie). Táto metóda sa nazýva Liebmannova relaxačná metóda. Cieľom je určiť rozloženie elektrického potenciálu v bodoch predstavujúcich vákuum. Relaxačná metóda zahŕňa vykonanie relaxačného postupu pre každý bod predstavujúci vákuum. Pre bod v sieti sa to môže zdať jednoduché (v 2D geometrii X-Y) (sčítanie potenciálov štyroch susedov daného uzla vľavo, vpravo, hore a dole a následné vydelenie súčtu číslom 4). Relaxačné vzorce závisia od typu súradnicového systému a polohy na sieti. V 2D valcových súradniciach (ZR) sa závislosti objavujú na vzdialenosti bodu od osi Oz; na osi Oz niektoré derivácie vyžadujú netriviálne postupy.
Po každom takomto postupe skontrolujeme, o koľko sa nová hodnota potenciálu zmenila v porovnaní s hodnotou predtým uloženou v našom uzle. To nám umožňuje určiť najväčšiu zmenu potenciálu v celej numerickej sieti. Keď následné aplikácie relaxačného postupu na sieť nevedú k významným zmenám požadovaného rozloženia potenciálu, výpočty sa zastavia a rozloženie potenciálu na sieti sa považuje za novo nájdené riešenie. Získané výsledky sa uložia do výstupných súborov.
Softvér Liebmann je založený na robustných nástrojoch FLOSS (jazyk ANSI C, kompilátor gcc).
Liebmann je vyvíjaný v 2 prostrediach:
Liebmann je stále vo vývoji. Ďalšie podrobnosti (návody, súbory na stiahnutie, galérie) sú k dispozícii v anglickej a poľskej verzii. Bohužiaľ neviem po slovensky, takže udržiavať slovenskú verziu je príliš náročné.
Bavte sa!
